Titre : Un arbre binaire de tous les triples pythagoriciens
Un triple pythagoricien fait référence à trois entiers naturels a, b, et c qui satisfont à l’équation : a² + b² = c², où a et b sont les longueurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle et c est la longueur de l’hypoténuse. Une technique fantastique pour générer tous les triples pythagoriciens est par le biais d’un arbre binaire.
En informatique, un arbre binaire est une structure de données dans laquelle chaque nœud a au plus deux enfants, généralement identifiés par « gauche » et « droite ». En lien avec les triples pythagoriciens, l’arbre binaire sert à générer ces triplets à partir d’un triplet « racine » initial, généralement (3,4,5) qui est le triplet pythagoricien primitif le plus petit.
Chaque nœud de l’arbre représente un triplet pythagoricien. À partir d’un nœud donné (a, b, c), trois nouveaux tripets sont générés, chacun formant un nœud d’un arbre binaire sous-jacent. Les formules de génération de ces nouveaux triplets sont les suivantes :
– Triple gauche : (a – 2b + 2c, 2a – b + 2c, 2a – 2b + 3c)
– Triple central : (a + 2b + 2c, 2a + b + 2c, 2a + 2b + 3c)
– Triple droit : (-a + 2b + 2c, -2a + b + 2c, -2a + 2b + 3c)
Ainsi, en utilisant l’arbre de triples binaires, nous pouvons générer tous les triples pythagoriciens possibles. Toutefois, il est important de noter que cette méthode génère également des triples qui ne sont pas primitifs, c’est-à-dire des triples dans lesquels a, b et c ne sont pas coprime.
En conclusion, l’utilisation d’un arbre binaire pour générer tous les triples pythagoriciens fournit une approche systématique et algorithmique à un problème mathématique classique. Ce modèle illustre parfaitement comment les concepts mathématiques peuvent être combinés efficacement avec les structures de données informatiques pour résoudre des problèmes complexes de manière élégante et efficiente.
